問題
互いに独立な2つの確率変数 X, Y があり、V(X)＝3、V(Y)＝5 である。和 X＋Y および差 X－Y の分散に関する説明として、最も適切なものはどれか。
選択肢
- 1V(X＋Y)＝8、V(X－Y)＝8 となり、和でも差でも分散は足し合わされる。
- 2V(X＋Y)＝8 だが、V(X－Y)＝2 となり、差では分散が引かれる。
- 3V(X＋Y)＝2、V(X－Y)＝8 となる。
- 4独立ならば、和も差も分散は0になる。
正解
1. V(X＋Y)＝8、V(X－Y)＝8 となり、和でも差でも分散は足し合わされる。
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解説
互いに独立な確率変数どうしでは、和の分散は各分散の和になり、V(X＋Y)＝V(X)＋V(Y)＝3＋5＝8 です。ここで注意すべきは、差の分散も同じように足し合わされる点で、V(X－Y)＝V(X)＋V(Y)＝8 となります。これは、差 X－Y を X＋(－Y) と見ると、係数－1が2乗されて＋1になり、Y の分散が引かれずに加わるためです。したがって「差では分散が引かれる」とする説明は誤りで、これはよくある間違いです。V(X＋Y)＝2 とする説明も、分散を引き算してしまっており誤りです。独立でも分散が0になることはなく、むしろ加わって大きくなるため、0になるという説明も誤りです。ばらつきどうしを組み合わせると、加えても引いても不確かさは増えるという性質は、誤差の伝ぱを考えるうえで重要な考え方です。
一問一答
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